Berry-Esseen定理的指数速率类似物问询

先把Berry-Esseen定理的完整表述列出来：

设$X_1, X_2, \ldots, X_n$是独立同分布（i.i.d.）的随机变量，具有均值$\mu$、方差$\sigma^2 > 0$，且三阶绝对矩$\rho = \mathbb{E}[|X_1 - \mu|^3] < \infty$。定义标准化和$S_n$如下：
$$
S_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu).
$$
那么存在一个普适常数$C$，使得：
$$
\sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \mathbb{P}\left( \frac{S_n}{\sigma} \leq x \right) - \Phi(x) \right| \leq \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt{n}},
$$
其中$\Phi(x)$是标准高斯分布的累积分布函数（CDF）。

我现在有个疑问：有没有这个定理的指数速率版本？也就是说，能不能得到一个类似的误差界，但收敛速率不是上面的$\frac{1}{\sqrt{n}}$，而是指数衰减的形式（比如$\mathcal{O}(e^{-cn})$，其中$c$是某个正数）？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Capybara