使用二项式定理计算复数z=1-i的n次方的技术求助

之前有人问过类似问题，但我想找完全只用二项式定理、不涉及三角/极坐标形式的解法。

问题描述 #

设 $z = 1 - i$，计算 $z^n$，其中 $n$ 是自然数。

我的思路 #

我打算分 $n = 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3$（$k$ 为整数）这几种情况来讨论，但目前遇到了瓶颈。先拿 $n=4k$ 的情况举例，说说我卡在哪里：
从 $(1-i)^n$ 的二项展开式来看，它的实部等于二项式系数偶数项的交替和/差，这个值等于 $\frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2}$。但我现在不知道怎么只靠二项式定理来化简这个式子，总是忍不住要用到三角或者极坐标的方法，这不符合我想要的纯二项式定理推导思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alt User