求获得k次连续正面的概率达到(1-ε)所需的抛硬币次数（含ε=1/2的特殊场景）

大家好，我最近遇到了一个有意思的概率问题，想请教下社区里的大佬们：

问题灵感来源 #

这个问题是受最近的Jet Lag游戏启发而来的。之前我看到过类似的问题，是计算得到连续5次正面所需的期望抛硬币次数，但我这次的需求不一样——我不关心期望数值，而是想搞清楚：我们需要抛多少次硬币，才能有(1-ε)的概率成功得到连续k次正面？标题里提到的ε=1/2是个具体的特殊场景，但我也想知道一般情况下的解法。

我的初步探索 #

我试着自己琢磨了下，发现这个问题比想象中复杂：哪怕是固定抛n次硬币，要计算其中出现连续k次正面的概率都挺有难度的，目前还没找到能直接解决这个“达到指定概率所需次数”问题的思路。

不知道有没有大佬能给我指点一下，或者提供一些可行的推导方向？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1936752