线性算子不变子空间与准素分解的证明求助

我遇到了一个线性代数的问题，想请大家帮忙解答：

已知条件如下：

• 线性算子 $T: V \rightarrow V$，它仅有两个特征值 $x_1, x_2$
• $U$ 是 $V$ 的一个 $T$-不变子空间
• $V = V_1 \oplus V_2$ 是 $V$ 关于 $T$ 和它的两个特征值的准素分解

需要证明的结论是：$U = (U \cap V_1) \oplus (U \cap V_2)$

我目前的进展是：已经证明了 $(U \cap V_1) + (U \cap V_2)$ 是直和，但始终卡壳在**证明任意 $u \in U$ 都属于 $(U \cap V_1) \oplus (U \cap V_2)$**这一步。反过来的包含关系（即 $(U \cap V_1) \oplus (U \cap V_2) \subseteq U$）是显然成立的，没有问题。

有没有朋友能给我一些思路或者提示呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Johann Carl Friedrich Gauß