关于标准分割下Darboux积分与黎曼积分等价性的技术问询

我在学习分析学时用到过不少教材，比如Understanding Analysis（Stephen Abbott）、Elements of Real Analysis（Denlinger）还有Calculus（Michael Spivak）。

最开始接触微积分里的积分概念时，我们会把黎曼积分定义为**等距分割（也有人称其为标准分割）**下的极限。这里有一张James Stewart的《Calculus Vol.1》里用来展示该定义的示意图：

• 针对这个问题，请忽略图中作者限定每个区间取左端点的设定，只聚焦在标准分割的相关问题上。

不过当深入学习分析学这类更具深度的内容时，我才意识到积分其实有多种不同的定义方式。和黎曼积分相关的主要有两种核心思路：一种是Darboux积分的定义路径，另一种则是基于任意分割与样本点选取的经典黎曼积分定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cauebilo