二次域中二次序的特定理想乘积等式的证明方法问询

嘿，我最近在研究二次域里的二次序理想，遇到了一个卡壳的问题，想请教一下怎么证明对应的理想乘积等式。具体问题背景和条件如下：

设 $F=\mathbb Q(\sqrt{\Delta})$ 是一个二次域，$\mathcal O$ 是 $F$ 的一个判别式为 $\Delta$ 的二次序。考虑两个 $\mathcal O$-理想：
$$\mathfrak{a}_1=\left[a_1,\frac{b_1+\sqrt{\Delta}}{2}\right],\quad \mathfrak{a}_2=\left[a_2,\frac{b_2+\sqrt{\Delta}}{2}\right]$$

这里对于 $i=1,2$，满足 $\Delta=b_i^2-4a_ic_i$，其中 $a_i\in\mathbb N$，$b_i\in\mathbb Z$，并且还满足条件：
$$\gcd(a_1,a_2,\frac{b_1+b_2}{2})=1,$$

现在我需要证明如下的理想乘积等式（原文等式未完整给出，推测是关于理想乘积生成元的形式）：
$$\mathfrak{a}_1\mathfrak{a}_2=\left[a_1,\frac{b_1+\sqrt{\Delta}}{2}\right]\cdot\left[a_2,\frac{b_2+\sqrt{\Delta}}{2}\right]=\left[a_1a_2,\frac{b...$$

想问问有没有大佬能给我讲讲这个证明的思路，或者完整的推导步骤呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HGF