基数幂不等式相关技术问询：函数集B^A与集合B的基数关系

嘿，我最近在琢磨从集合$A$到集合$B$的所有函数构成的集合$B^{A$的基数问题，想请教下：当$|B|>1$且$|A|>1$时，$|B}A|$和$|B|$之间到底是什么关系？

• 关于$|B^A|>|A|$这点我倒是挺清楚的：因为$|B|\ge2$，直接套用康托尔定理就能得出这个结论。
• 但我对$|B^{A|$和$|B|$的关系就没那么确定了。目前我能推导出来的是**$|B}A|\ge|B|$**，理由是我们可以把集合$B$单射注入到$B^A$中——每个元素$b\in B$对应一个常函数$f_b:A\to B$，这个函数满足对任意$a\in A$，$f_b(a)=b$，显然这个对应关系是单射，所以基数上必然满足大于等于。

不过这个不等式不一定是严格成立的，比如有个经典例子：$|\mathbb{N}_0^2| = |\mathbb{N}_0|$（这里$\mathbb{N}_0$代表包含0的自然数集），这时候等号就成立了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ember Chow