通过卷积光滑化球面上的函数：Lipschitz函数的一致逼近构造问询

我现在有个问题想请教各位大佬——考虑一个从n维球面$S^n$到实数域$\mathbb{R}$的Lipschitz函数$f$，有没有办法构造一族光滑函数$f_t: S^n\to \mathbb{R}$，使得当$t\to 0$时，$\Vert f_t -f\Vert_\infty\to 0$（也就是一致收敛到$f$）？

我知道类似的结论在$\mathbb{R}^{{n+1}$上是成立的，但就算把$f$看成定义在$\mathbb{R}}{n+1}$的某个子集上，也没法直接照搬那边的方法。我之前在一本叫《Approximation Theory and Harmonic Analysis on Spheres and Balls》的书里看到，他们在定义2.1.1里给出了一种卷积形式的公式，但我实在摸不着头脑，不知道该怎么用这个公式构造出满足一致收敛要求的函数族。比如这里的$g_t$应该怎么选才对呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stratified