为何$I=[0,1]$时$I \times I$上的字典序拓扑与对应子空间拓扑不相同？
嘿，这个问题其实挺好理解的，核心在于两个拓扑对“边界点附近的开集”定义不一样——我们只需要找一个集合，在其中一个拓扑里是开集，在另一个里不是，就能直接说明它们不同。
先帮你再明确两个拓扑的核心定义：
- $I\times I$自身的字典序拓扑：把$I\times I$当作独立的有序集（字典序规则：$(x_1,y_1)<(x_2,y_2)$当且仅当$x_1<x_2$，或者$x_1=x_2$且$y_1<y_2$），用这个序生成拓扑。基开集是所有形如$(a,b)$的开区间（$a,b\in I\times I$且$a<b$），再加上包含最小元$(0,0)$的$[(0,0),b)$，以及包含最大元$(1,1)$的$(a,(1,1)]$。
- $I\times I$作为$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$字典序拓扑的子空间：一个集合是开集当且仅当它是$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$中某个字典序开集与$I\times I$的交集。
接下来看关键的例子：考虑集合$U = { (0, y) \mid 0 < y \leq 1 }$，也就是$I\times I$中左边缘（$x=0$）去掉$(0,0)$的那条竖线。
在子空间拓扑里，$U$是开集
在$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$的字典序拓扑中，取开区间$V = ((0,0), (0, 2))$——这个区间包含所有满足$(0,0)<(x,y)<(0,2)$的点，也就是所有$x=0$且$0<y<2$的点。将$V$与$I\times I$取交集，正好得到$U$（因为$I\times I$里的$y$最大是1）。所以$U$是子空间拓扑下的开集。在$I\times I$自身的字典序拓扑里，$U$不是开集
假设$U$是开集，那它必须包含$(0,1)$的一个基开邻域。但在$I\times I$的字典序规则里，$(0,1)$的任何基开邻域都是形如$(a,b)$的区间，其中$a<(0,1)<b$。这里的$b$必须是$I\times I$中大于$(0,1)$的点，而$I$里没有$y>1$的元素，所以$b$只能是$x_1>0$的点（比如$(0.1, 0)$）。那这个区间$(a,b)$必然会包含所有$x\in(0,x_1)$的点（不管$y$是什么），而这些点显然不在$U$里（$U$只有$x=0$的点）。这就矛盾了，所以$U$在$I\times I$自身的字典序拓扑里不是开集。
本质原因很直观：在$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$的字典序里，$(0,1)$的“右侧”可以有$x=0$且$y>1$的点（比如$(0,2)$），所以我们能找到只包含$x=0$附近点的开区间；但在$I\times I$自身的字典序里，$(0,1)$的“右侧”第一个点就是$x>0$的点，任何包含$(0,1)$的开邻域都不得不包含一些$x>0$的点，没法只取$x=0$的竖线部分。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Debmalya Roy
