如何计算组合数${n\choose k}+{n\choose{k+1}}$？

你好！你的推导方向完全是对的——从组合数定义展开是最直接的入手方式，只是中间可以利用阶乘的递推性质简化通分步骤，不用处理复杂的分母。这个式子其实是组合数里核心的帕斯卡递推公式，我们可以从代数推导和直观的组合意义两方面来拆解：

一、代数推导（优化你的步骤） #

首先从组合数的定义展开原式：
$$
\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}
$$

这里要用到阶乘的两个基本性质，能帮我们大幅简化计算：

• $(k+1)! = (k+1) \times k!$（$(k+1)$的阶乘等于$(k+1)$乘$k$的阶乘）
• $(n-k)! = (n-k) \times (n-k-1)!$（$(n-k)$的阶乘等于$(n-k)$乘$(n-k-1)$的阶乘）

我们不用直接通分所有分母，而是把两个分数转化为相同分母：

• 第一个分数的分子分母同乘$(k+1)$，得到$\frac{n!(k+1)}{(k+1)k!(n-k)!} = \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!}$
• 第二个分数的分子分母同乘$(n-k)$，得到$\frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)(n-k-1)!} = \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}$

现在两个分数的分母完全相同，直接合并分子：
$$
= \frac{n!(k+1) + n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}
$$

提取分子的公因子$n!$，并化简括号内的式子：
$$
= \frac{n! \times [(k+1) + (n - k)]}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{n! \times (n+1)}{(k+1)!(n-k)!}
$$

注意到$n! \times (n+1) = (n+1)!$，而分母中的$(n-k)!$可以写成$[(n+1)-(k+1)]!$（因为$(n+1)-(k+1) = n -k$），代入后就得到：
$$
= \frac{(n+1)!}{(k+1)! \times [(n+1)-(k+1)]!} = \binom{n+1}{k+1}
$$

如果你坚持用最开始的通分步骤，也能继续化简：
在你的第四步中，分子是$n! (k+1)! (n-k-1)! + n! k! (n-k)!$，我们提取公因子$n! k! (n-k-1)!$：
$$
\text{分子} = n! k! (n-k-1)! \times [(k+1) + (n - k)] = n! k! (n-k-1)! \times (n+1)
$$
分母代入阶乘性质$(n-k)!=(n-k)(n-k-1)!$和$(k+1)!=(k+1)k!$后，约分同样会得到$\binom{n+1}{k+1}$。

二、组合意义的直观解释 #

除了代数推导，我们还可以从“选元素”的角度理解这个公式：
假设我们有$n+1$个不同的元素，现在要从中选$k+1$个元素，总共有$\binom{n+1}{k+1}$种选法。我们可以把这些选法分成两类：

1. 包含某个特定元素（比如元素A）：这时候只需要从剩下的$n$个元素中选$k$个，选法数是$\binom{n}{k}$；
2. 不包含这个特定元素：这时候需要从剩下的$n$个元素中选$k+1$个，选法数是$\binom{n}{k+1}$；

这两类选法的总和就是从$n+1$个元素中选$k+1$个的总选法数，所以：
$$
\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David Krell