C¹映射下拉回与外微分是否可交换？

最近听讲座的时候接触到这么一个结论，我先给大家理一理：

假设$U\subset \mathbb{R}^{n$是$\mathbb{R}}n$中的开子集，$\varphi \in \Omega^{k(U)$是一个$C}1$的k-形式；另外设$V \subset \mathbb{R}^m$是开集，$F:V \to \mathbb{R}^n$是*$C2$类映射*，且满足$F(V) \subset U$，那么此时下拉回和外微分是可交换的，也就是$d(F^\varphi) = F^(d\varphi)$。

我自己琢磨了一下，这个结论逻辑是通顺的——毕竟$F^{*\varphi$还是个$C}1$的形式，完全可以对它做外微分操作。

但是我现在碰到个困惑：之前在另一个证明里，用到了一个*$C^1$类的映射*$\tilde u: W \to \mathbb{R}^{n$，我突然就犯嘀咕了——如果把上面结论里要求的$C}2$映射换成$C^1$映射，那下拉回和外微分的交换律还能成立吗？也就是$d(\tilde u^\varphi) = \tilde u^(d\varphi)$这个等式还能成立吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user007