关于优化问题最优解衍生函数的单调性与单峰性的证明请求

各位大佬好，我最近在研究一个优化问题，通过数值模拟得到了两个结论，但一直没法给出严格的数学证明，想请大家帮忙指点一下：

我们有如下优化问题：
$$
\max_{z\in[0,1/2]}~f(z;t)=\frac{(4\alpha z^3-6\alpha z^2+3\alpha z-3\alpha+3)t^{3-6z(1-\alpha)t}2+3z^2(1-\alpha)t-\alpha z^3}{6t3},
$$
其中约束条件为 $t\geq 1$ 且 $\alpha\in[0,1]$。

该问题的最优解为：
$$
z_H=\begin{cases}
0,&\mbox{if }1\leq t<2(1/\alpha-1),\
\frac{t[\alpha(2t^2+1)-1-\sqrt{(1-\alpha)[\alpha( 8t^3-4t2-3)+1]+t\alpha^{2}]}{\alpha(4t}3-1)},&\mbox{if }t\geq \max{2(1/\alpha-1),1},
\end{cases}
$$
同时我们定义 $z_L=z_H/t$。

通过数值模拟，我观察到以下两个结论，希望能得到严格证明：

• $z_H$ 关于变量 $t$ 始终是单调递增的；
• 当 $\alpha\leq 4/5$ 时，$z_L$ 关于变量 $t$ 是单峰函数（即存在唯一极值点，函数先单调递增后单调递减）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者KevinKim