寻找覆盖调和数区间的单一连续函数并证明其连续性

我现在在找一个函数 $f(n,k)$，要求当 $0\leq k\leq1$ 时，这个函数的值域能覆盖整个区间 $[1,nH_n)$。这里先说明一下，$H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ 是第 $n$ 个调和数。

目前我已经找到了两个分段函数，能分别覆盖目标区间的不同部分：

• 对于区间 $[0,n]$，可以用函数 $g(n,k)=n^k$；
• 剩下的区间 $[n,nH_n]$，则可以用函数 $h(n,k)=n\cdot(H_{n})^k$。

从对应的函数图像能看到，$g$ 和 $h$ 合起来可以覆盖 $[0,n]\cup [n,nH_n]$ 这个范围，但我想要的是单一的连续函数，而不是分段拼接的形式，不知道有没有办法把这两个函数平滑地衔接起来，或者有没有其他现成的函数能满足这个覆盖要求？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cardstdani