仅考虑区间内整数值的函数在给定区间的平均值计算方法问询

大家都知道，函数 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 若是可积的，我们可以这样定义它在区间 $[a,b]$ 上的平均值 $\bar{y}$：
$$\bar{y}:=:\frac{1}{{b}−{a}}\int^b_a{f}\left({x}\right){dx}$$
这个平均值是把区间内所有可能的有理数值$x$对应的函数值“累加”后得到的平均。

那我现在有个疑问：如果我们只想计算区间 $[a,b]$ 内，**仅取整数$x$**对应的 $f(x)$ 的平均值，该怎么定义和计算呢？

举个例子能更清楚地说明我的问题——比如我们都知道前$n$个正整数的和是...（原内容此处未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Muhammad Sohaib Hassan