正1987边形中心向量真子集和非零性的证明问询

我最近碰到这么一个几何问题，想请教大家：
考虑以点O为中心的正1987边形$A_1, A_2,..., A_{1987}$，需要证明集合$M ={OA_j | j = 1, 2, . . . , 1987}$的任意真子集对应的向量和都不为零。

我自己先琢磨出两个观察点：

• 如果某个真子集的向量和为零，那它的补集的向量和也肯定是零——因为所有向量加起来的总和本身就是零。这就意味着要是存在这样的子集，那必然同时存在元素个数为偶数和奇数的两种情况。
• 1987是个质数，这个特殊性质说不定是解题的关键。

后来我（准确说是Copilot帮我搜到的）找到了一篇相关论文，标题是《ON VANISHING SUMS OF DISTINCT ROOTS OF UNITY》，论文摘要里提到：“We show that for any integers...”

备注：内容来源于stack exchange，提问作者eug100