关于拓扑意义下的连续性及单点集作为开/闭集的疑问

首先我得先道个歉，如果这个问题听起来有点蠢的话。我最近在深入学习拓扑空间和实分析，想把之前的知识漏洞和疑惑都补上，结果这个问题就冒出来了。

我先从这个集合例子说起：考虑集合 $A = {\frac{1}{n+1}: n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$，这里我定义 $0 \in \mathbb{N}$。

这个集合$A$可以写成若干单点集的并集，而且每个单点集都是闭集。这部分我已经完全搞懂了，清楚为什么单点集是闭集这类细节。

再来看这个函数例子：$f: [10, 11] \cup {14} \to \mathbb{R}$，函数规则是 $f(x) = x^2$。它的定义域是闭集，毕竟这是一个紧集和一个单点集的有限并。不过我最近查资料的时候发现，这里其实……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gerr