关于数列极限$ \lim_{n\to \infty} \frac {a_n}{b_n} = \frac ab $的自证是否错误的技术疑问

嘿，这个问题抓得特别准！你的证明里藏了个典型的循环论证逻辑漏洞，咱们一点点掰扯清楚：

首先先回忆课堂上的正确逻辑链条：

• 第一步先单独证明了：若$\lim_{n\to\infty}b_n = b \neq 0$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n} = \frac{1}{b}$
• 第二步用已经被严格证明的乘积极限法则：当$\lim x_n$和$\lim y_n$都存在时，$\lim(x_n \cdot y_n) = \lim x_n \cdot \lim y_n$
• 最后把$\frac{a_n}{b_n}$拆成$a_n \cdot \frac{1}{b_n}$，代入法则得到结果，整个过程每一步的前提都是已经被验证过的。

那你的推导问题出在哪呢？看你写的这一步：
$$\lim_{n\to \infty} a_n\frac {b_n}{b_n} = \lim_{n\to \infty} b_n \cdot \lim_{n\to \infty}\frac {a_n}{b_n}$$
这里你直接把极限拆成了两个极限的乘积，但乘积极限法则有个硬性前提：拆分后的两个极限必须都存在！而你要证明的核心结论之一，就是$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$是存在的——你相当于用了一个还没被证明成立的结论（这个极限存在），反过来推导它的结果，这就陷入了“用结论证结论”的循环里。

举个反例更直观：假设$a_n = (-1)^n$，$b_n = (-1)^n$，这时候$\lim a_n$和$\lim b_n$都不存在，但$\lim(a_n/b_n) = 1$；要是套用你的思路，会写成$\lim a_n = \lim b_n \cdot \lim(a_n/b_n)$，但左边极限根本不存在，右边也没法成立，这就把你的逻辑漏洞暴露得明明白白——你默认了所有涉及的极限都存在，但在证明$\lim(a_n/b_n)=a/b$时，我们是要基于“$\lim a_n=a$、$\lim b_n=b≠0$都存在”这个已知条件，先推导出$\lim(a_n/b_n)$存在，再求它的值，而你直接跳过了“存在性证明”这步，把待证的存在性当前提用了，这在数学证明里是不合法的。

说白了，你的推导逻辑是倒置的：不能用“我要证的极限存在”这个假设来推导结果，得用已经被锤实的结论（比如倒数极限、乘积极限法则）来正向推导存在性+结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pumpkin_Star