关于利用给定Chebyshev集定理证明两个相关命题的技术问询

我已经在自己的帖子里证明了如下定理：

设$K$是实内积空间$X$中的闭凸子集，且$K$包含于$X$的某个完备子集，则$K$是Chebyshev集。

现在我希望借助这个定理来证明以下两个命题：

• 命题1：希尔伯特空间中的每个闭凸子集都是（近似紧的）Chebyshev集。
• 命题2：实内积空间的有限维子空间中的每个闭凸子集都是Chebyshev集。

我的尝试 #

对于命题1，我的思路是：希尔伯特空间本身就是完备的内积空间，它内部的任何闭凸子集自然包含在这个完备空间中，根据上面的定理，直接就能得出该子集是Chebyshev集。这样的证明是不是就足够严谨了？

但命题2我还没找到合适的切入点，有没有朋友能指点一下怎么用上述定理来证明命题2呢？提前感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1348309