KNN中L1与L2距离性能相近的场景及L1性能不变的条件

嘿，咱们来拆解这两个KNN里关于距离度量的经典问题，我给你捋得明明白白的～

其实L1（曼哈顿距离）和L2（欧氏距离）的性能差异，核心看数据特征和任务场景：

• 所有特征尺度一致且无极端异常值时：比如你已经给所有特征做了标准化（减均值除以标准差），每个特征的“话语权”被拉平，这时候两种距离衡量样本差异的逻辑不会因为某几个特征尺度过大而跑偏，性能就会比较接近。
• 样本差异集中在少数关键特征时：比如分类任务里，真正能区分类别的只有2-3个核心特征，其他都是噪声，这时候L1和L2都会聚焦在这些关键特征上，最终的分类结果差异很小，性能自然趋近。
• K值设置较大时：KNN里K越大，模型越偏向“多数投票的平均结果”，单个样本的距离权重被稀释，不管用L1还是L2，最终的投票结果差异会被缩小，性能也就拉不开差距了。

咱们逐个分析选项：

1. 数据预处理为减均值：减均值只是把数据整体平移，L1距离是各维度绝对值差的和，平移后每个维度的差值完全不变，距离计算结果和原来一模一样，分类性能自然不会变。举个例子：样本A(x1,y1)和样本B(x2,y2)，减均值后变成A(x1-mx,y1-my)、B(x2-mx,y2-my)，L1距离还是|x1-x2| + |y1-y2|，和原距离完全一致。
2. 数据预处理为减均值并除以标准差：这一步是标准化，会直接改变特征的尺度。比如某个特征原来范围是0-100，除以标准差后变成0-10，这个特征在L1距离里的“权重”被缩小，样本间的距离计算结果会变化，分类性能肯定会受影响。
3. 数据坐标轴旋转：L1距离对旋转不鲁棒，坐标轴旋转后，样本的相对距离会发生变化。比如(0,0)到(1,0)的L1距离原本是1，坐标轴旋转45度后，(1,0)的坐标变成(√2/2, √2/2)，此时L1距离变成√2/2 + √2/2 = √2，相对距离变了，分类结果大概率也会变。

所以正确答案是选项1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Soyol