求计数(2n+1)^6规模相关矩阵独立元素的整数序列通项公式

嘿，我帮你搞定这个序列的通项公式啦！先把你给出的信息理清楚：

我在研究中遇到了如下整数序列：对于给定的$n$，该序列的值代表规模为$(2n+1)^6$的某类（相关）矩阵中独立元素的数量。

已知序列项为：
f(1) = 20
f(2) = 165
f(3) = 816
f(4) = 2925
f(5) = 8436
f(6) = 20825

我尝试推导通用公式，但至今没有成功。

我先把这些序列项对应$n$的数值列出来，然后从组合数的角度尝试匹配——毕竟这类计数问题经常和组合数挂钩：

• $n=1$时，20正好是$\binom{6}{3}$（6选3的组合数）
• $n=2$时，165是$\binom{11}{3}$
• $n=3$时，816是$\binom{18}{3}$
• $n=4$时，2925是$\binom{27}{3}$
• $n=5$时，8436是$\binom{38}{3}$
• $n=6$时，20825是$\binom{51}{3}$

接下来看这些组合数的上标：6、11、18、27、38、51，它们的一阶差分是5、7、9、11、13，二阶差分恒定为2，说明这个上标是个二次函数。我算了下，这个二次函数是$n^{2+2n+3$（也就是$(n+1)}2+2$）。

那代入组合数公式验证一下：
$\binom{n^2+2n+3}{3} = \frac{(n^2+2n+3)(n2+2n+2)(n^2+2n+1)}{6}$
而$n^2+2n+1=(n+1)2$，所以可以简化成：
$$f(n)=\frac{(n+1)²⁽ⁿ2+2n+2)(n^2+2n+3)}{6}$$

把每个$n$代进去试：

• $n=1$：$\frac{2^2×5×6}{6}=4×5=20$，完全对得上
• $n=2$：$\frac{3^2×10×11}{6}=9×10×11÷6=165$，没错
• $n=3$：$\frac{4^2×17×18}{6}=16×17×3=816$，完美匹配
  后面的$n=4$到$n=6$也全对上了！

至于这个公式为什么对应你说的$(2n+1)^{6$规模相关矩阵的独立元素，大概率是因为这个矩阵带有很强的对称性约束（比如高维平稳过程的相关矩阵，具有平移不变性），导致独立元素的数量等价于从$n}2+2n+3$个元素中选3个的组合数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John