实希尔伯特空间上有界算子自伴性的判定问题

好问题！咱们从复希尔伯特空间的经典结论出发，一步步梳理实空间里的对应结果：

首先得明确，复空间里那个核心判定（$\langle Ah,h\rangle\in \mathbb{R}$对所有$h\in H$等价于$A$自伴），本质是靠复内积的共轭对称性和复极化恒等式推导的。但实希尔伯特空间的内积本身就是实数，所以这个条件对所有有界线性算子都自动满足，没法用来区分自伴和非自伴算子。

那实空间里的自伴性判定，除了直接用“对所有$x,y\in H$，$\langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle$”这个定义式（对应有限维的对称矩阵），还有一些更深入的等价条件：

• 谱特征判定：有界算子$A$自伴当且仅当$A$是正规算子（即$AA^*=A*A$）且$A$的谱完全包含在实数集中。
  这个结果把自伴性和谱性质、正规性结合起来，比单纯的对称性定义更具抽象性。实空间里的正规算子不一定自伴（比如平面上的90度旋转算子，它的谱是${i,-i}$，不是实数，所以不是自伴），但如果正规算子的谱全是实数，那它必然是自伴的。

• 二次型极值与范数的等价性：有界算子$A$自伴当且仅当它的算子范数等于其二次型的上确界，即：
  $$||A|| = \sup\left{ |\langle Ah,h\rangle| \mid h\in H, ||h||=1 \right}$$
  对于非自伴的有界算子，这个上确界会严格小于算子范数，所以这个等式可以作为自伴性的一个判定依据。这个性质既连接了算子的代数性质（自伴性）和分析性质（范数），也算是复空间对应结论的实空间版本。

• 利用算子分解的判定：实希尔伯特空间上任何有界线性算子都可以唯一分解为自伴算子$S$和反自伴算子$T$的和：$A = S + T$，其中$S=\frac{1}{2}(A+A^{*)$，$T=\frac{1}{2}(A-A}*)$。反自伴算子满足$\langle Tx,y\rangle = -\langle x,Ty\rangle$，且对所有$x\in H$，$\langle Tx,x\rangle=0$。那么$A$自伴当且仅当$T=0$，等价于$T$的范数为0，或者$T$的谱为空集等更具分析性的表述。

另外补充一点：在无限维实希尔伯特空间中，自伴算子的很多性质和有限维对称矩阵一脉相承，比如谱定理依然成立（自伴算子可以分解为投影算子的积分），这也是判定自伴性的间接依据——如果一个有界算子能满足谱定理的条件，那它必然是自伴的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user760