请求证明De Bruijn图G₂,n中存在所有长度1≤k≤n-1的简单环

我现在正尝试证明：在De Bruijn图$G_{2,n}$中，对于所有满足$0<k<n$的整数$k$，都存在长度为$k$的简单环。这里先明确下$G_{2,n}$的定义：它的顶点是所有长度为$n-1$的二进制字符串，边则对应长度为$n$的二进制字符串。

到目前为止，我只搞定了$n-1$能整除$k$的情况，剩下的情况完全没头绪，有没有大佬能给点提示？

补充下我之前的尝试思路：我一开始想，如果存在整数$c$使得$n-1 = c \cdot k$，那可以选一个由某个短字符串重复$c$次组成的顶点，走$k$步的过程相当于把这个短字符串从顶点的开头截断，再接到末尾，这样就能回到原顶点。当然我也考虑过要保证这个环是简单环，但后来Calvin在评论里指出这个方法行不通，我就把这段思路删掉了。现在Calvin帮我补充这段上下文，就是想说明我确实已经做过一些尝试，只是发现方法有问题，现在卡在这儿了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1188938