求从SL₂(ℂ)到ℂ*的所有群同态的相关疑问

我在一份群论考试试卷里遇到了下面这个问题：

求所有从${SL}_2\left({\mathbb{C}}\right)$（所有行列式为1的2×2复矩阵构成的群，运算为通常的矩阵乘法）到$\mathbb{C}^*$（所有非零复数构成的群，运算为复数乘法）的群同态。

我只找到了一个同态，就是平凡同态——把定义域里的每个元素都映射到1。这本质上其实就是行列式映射？不过我想知道，有没有其他可能的同态存在呢？

另外我还尝试把问题中的${SL}_2\left(\mathbb{C}\right)$替换成${GL}_2\left(\mathbb{C}\right)$，来解决类似的问题：

求所有从${GL}_2\left(\mathbb{C}\right)$（所有可逆2×2复矩阵构成的群，运算为通常的矩阵乘法）到$\mathbb{C}^*$的群同态。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Avyaktha Achar