卷积二重积分的优化求解技术问询

我最近在求解下面这个带概率约束的二重积分最小化问题，尝试用傅里叶变换推进，但一直没找到突破口，想跟大家聊聊我的思路和卡点：

原优化问题：
$$\min_{\pi: \int \pi(x)=1} \int^{a}{-a} \int^a{-a} \exp(-(x-y)^2) \pi(x)\pi(y) ;dx;dy $$

首先我把原问题做了转化，将概率密度函数$\pi$扩展到整个实数域，引入带紧支撑的$\pi'$（满足$\pi'(x)=0$当$|x|>a$），这样问题转化为：
$$\min_{\pi': \int \pi'(x)=1, ;\pi'(x)=0;\forall |x|>a} \int^{\infty}{-\infty} \int^\infty{-\infty} \exp(-(x-y)^2) \pi'(x)\pi'(y) ;dx;dy $$

接下来我尝试用傅里叶变换来改写目标函数，根据卷积的傅里叶性质，我推导出等价的频域形式：
$$\min_{\pi': \hat{\pi}'(0)=1,???} \int^{\infty}_{-\infty} \sqrt{\pi} e^{-\pi2k^{2}|\hat{\pi}'(k)|}2 ;dk $$

这里我的卡点是：原问题里$\pi'$的紧支撑约束（仅在$[-a,a]$非零），怎么转化为傅里叶域$\hat{\pi}'(k)$的约束？
另外从直觉上，我觉得如果让$\hat{\pi}'(k)$只在$k=0$处取1、其余点取0，可能能让积分最小，但不确定这个想法是否符合约束条件，也不知道怎么严谨推导。

有没有大佬能帮忙梳理下紧支撑条件的傅里叶域对应形式，或者给我一些求解这个优化问题的方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者李凌志