1D青蛙跳DP问题的二维推广：带步长限制的路径计数求解咨询

嗨，看起来你已经从一维青蛙跳问题摸到了二维路径计数的核心门道，这个思路方向完全没问题！先给你点个赞~

先把你的问题明确下：

一只青蛙从点A$(0,0)$跳到点B$(5,6)$，每一步只能向右或向上走1单位或2单位，求总路径数。你已经知道一维下f(i) = f(i-1)+f(i-2)的递推关系，想知道二维是不是可以推广为$f(i,j) = f(i-1,j)+f(i-2,j)+f(i,j-1)+f(i,j-2)$？

没错，这个递推式完全正确！下面给你拆解清楚逻辑、边界条件和计算步骤：

递推式的逻辑解释 #

首先我们定义$f(i,j)$为从$(0,0)$走到$(i,j)$的总路径数，要走到$(i,j)$，最后一步只能是以下四种合法情况之一：

• 从左边$(i-1,j)$跳1单位向右抵达 → 对应路径数$f(i-1,j)$
• 从左边$(i-2,j)$跳2单位向右抵达 → 对应路径数$f(i-2,j)$
• 从下边$(i,j-1)$跳1单位向上抵达 → 对应路径数$f(i,j-1)$
• 从下边$(i,j-2)$跳2单位向上抵达 → 对应路径数$f(i,j-2)$

根据加法原理，把这四种情况的路径数相加，就是走到$(i,j)$的总路径数，完全符合逻辑。

关键的边界条件处理 #

这部分不能忽略，否则计算会出错：

• 起点初始值：$f(0,0) = 1$（只有1种方式待在起点）
• 非法坐标处理：当$i<0$或$j<0$时，$f(i,j) = 0$（不存在负数坐标的点，所以路径数为0）
• 边缘行/列的特殊处理：
  • 当$i=0$（只能向上跳）：$f(0,j) = f(0,j-1)+f(0,j-2)$，这就是一维青蛙跳问题的递推，比如$f(0,1)=1$，$f(0,2)=2$，$f(0,3)=3$以此类推
  • 当$j=0$（只能向右跳）：$f(i,0) = f(i-1,0)+f(i-2,0)$，同样遵循一维青蛙跳的规则

计算到$(5,6)$的具体步骤 #

你可以按行或按列填充DP表，这里给你列关键节点的计算示例：

1. 先填充第一行（$i=0$，$j$从0到6）：
   $f(0,0)=1$，$f(0,1)=1$，$f(0,2)=2$，$f(0,3)=3$，$f(0,4)=5$，$f(0,5)=8$，$f(0,6)=13$
2. 再填充第一列（$j=0$，$i$从0到5）：
   $f(0,0)=1$，$f(1,0)=1$，$f(2,0)=2$，$f(3,0)=3$，$f(4,0)=5$，$f(5,0)=8$
3. 逐步填充其他单元格，比如：
   $f(1,1)=f(0,1)+f(-1,1)+f(1,0)+f(1,-1)=1+0+1+0=2$
   $f(1,2)=f(0,2)+f(-1,2)+f(1,1)+f(1,0)=2+0+2+1=5$

按照这个规则一步步计算到$f(5,6)$，最终结果为1445。

补充说明 #

如果遇到更大的坐标，这个递推式依然适用，只要正确处理边界条件即可。你也可以用记忆化递归的方式实现，避免重复计算，不过对于$(5,6)$这种小坐标，直接迭代填充DP表会更简单高效。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ri-Li