求证分段函数序列{fₙ(x)}在[0,1]上逐点收敛于0

我最近看的一本讲函数序列的书里，碰到这么个练习题，想跟大家捋捋怎么证明：

对于每个自然数 $n \ge 1$，定义分段函数 $f_n(x)$ 如下：
$$
f_n(x)= \begin{cases}
2n^2x & 0 \le x \le \frac{1}{2n} \
-2n^2x+2n & \frac{1}{2n} < x \le \frac{1}{n} \
0 & \frac{1}{n} < x \le 1
\end{cases}
$$

要求证明：对所有 $x \in [0,1]$，$\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0$。

我一开始先试着分析了 $0 \le x \le \frac{1}{2n}$ 的情况，后来发现得按固定x的思路来——逐点收敛的核心就是先固定住x，再看n趋向无穷时$f_n(x)$的变化，咱们分情况来拆解：

• 情况1：$x=0$
  直接代入函数定义，不管n取多大，$f_n(0)=2n^2 \times 0=0$，整个序列的每一项都是0，极限自然是0，这部分没啥难度。

• 情况2：$x \in (0,1]$
  这里关键是要记住x是固定不变的正数。咱们想一个问题：当n越来越大时，$\frac{1}{n}$ 会越来越小，小到一定程度就会小于x对吧？比如找个自然数 $n_0 = \lfloor \frac{1}{x} \rfloor + 1$（简单说就是比$\frac{1}{x}$大的第一个自然数），当 $n > n_0$ 时，必然有 $\frac{1}{n} < x$，这时候根据函数定义，$f_n(x)=0$，那 $|f_n(x)-0|=0 < \epsilon$ 肯定成立——不管你给的$\epsilon$是多小的正数，这个不等式都能满足。

  可能有人会疑惑：那n还没到$n_0$的时候，x落在$(0,\frac{1}{n}]$里，$f_n(x)$不是0啊？没关系！逐点收敛只要求当n足够大之后，$f_n(x)$和极限值的差小于$\epsilon$就行，前面有限个n的取值根本不影响极限的存在性。

  举个直观的例子：比如$x=0.1$，$\frac{1}{x}=10$，那$n_0=11$。当$n>11$时，$\frac{1}{n}<0.1$，$f_n(0.1)=0$；$n≤11$的时候，比如$n=5$，$f_5(0.1)=2×25×0.1=5$，$n=10$时$f_{10}(0.1)=2×100×0.1=20$，但这些都是n不够大的时候的取值，当n超过11之后，所有$f_n(0.1)$都是0，所以极限肯定是0。

把这两种情况合起来看，不管x是[0,1]里的哪一个数，当n趋向无穷时，$f_n(x)$的极限都是0，也就完成了证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ruan Carlos