特殊“大型”矩阵的巧妙对角化方法

Let $A$ be the following matrix:
$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \
1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \
2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \
1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \
2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \
1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$

我已经知道这些结论：

• 矩阵所有行的和都是9，因此向量 $(1,1,1,1,1,1)$ 是对应特征值9的特征向量；
• 矩阵的秩为2，所以存在4个值为0的特征值；

问题 #

还缺一个特征值，有没有不用计算特征多项式的方法找到它？

当然有啦！咱们可以从矩阵的结构规律入手，完全不用硬算复杂的特征多项式。

首先观察这个矩阵的行：奇数行全是 $[2,1,2,1,2,1]$，偶数行全是 $[1,2,1,2,1,2]$。那我们可以构造一个和这个行模式匹配的特殊向量，比如 $v=(1,-1,1,-1,1,-1)$，来验证它是不是特征向量：

计算 $A \cdot v$：

• 对于任意奇数行（比如第一行）：$21 + 1(-1) + 21 + 1(-1) + 21 + 1(-1) = (2-1)*3 = 3$
• 对于任意偶数行（比如第二行）：$11 + 2(-1) + 11 + 2(-1) + 11 + 2(-1) = (1-2)*3 = -3$

计算结果就是 $(3,-3,3,-3,3,-3) = 3*(1,-1,1,-1,1,-1) = 3v$，这就直接说明 $v$ 是对应特征值3的特征向量！

另外，咱们还可以用迹的性质来验证结果的正确性：矩阵的迹（对角线元素之和）等于所有特征值的和。这个矩阵的对角线元素全是2，6个元素的总和是 $2*6=12$。已知的特征值是9、四个0，加上刚找到的3，总和是 $9+3+0+0+0+0=12$，完美匹配，说明这个结果绝对没问题。

总结一下，利用矩阵的重复行模式构造特殊测试向量，再结合迹的验证，就能轻松找到缺失的特征值啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jule