张量空间中切空间与余切空间的概念解析及相关技术问询

嘿，咱们先把几个常用的数学符号定义清楚，方便后续理解切空间和余切空间的内容：

$$
\def\R{\mathbb{R}}
\def\pdv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdvp#1#2#3{\left.\frac{\partial #1}{\partial #2}\right\vert_{#3}}
\def\dvp#1#2{\left.\frac{\partial }{\partial #1}\right\vert_{#2}}
\def\df{\mathsf{d}}
$$

在$\R^{n$（n维欧氏空间）里，要是用$x}1,\ldots,x^n$作为标准坐标的话，针对任意一个点$p$，咱们可以得到两个关键的基：

• 余切空间$T_p^*(\Rn)$的基是$(dx^{1)_p,\ldots,(dx}n)_p$，说白了余切空间就是点$p$处所有线性实值函数构成的向量空间，这些基元素就是坐标函数的微分在$p$点的取值
• 切空间$T_p(\R^{n)$的基是$\dvp{x}1}{p},\ldots,\dvp{x^n}{p}$，切空间可以理解成点$p$处所有“方向导数算子”构成的向量空间，这些基元素就是对各个坐标方向求偏导的算子

至于你提到的多元函数$f: \R^n \to \R$的微分，它其实是从切空间$T_p(\R^{n)$到实数域$\R$的线性映射，刚好对应余切空间$T_p}*(\R^n)$里的元素——不过你这里的内容没写完，要是有具体的疑问（比如微分的具体表达式、和基的关联之类的），可以再补充说明哦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ted Black