边数超过n²/4的无向简单图必含三角形的归纳法证明求助（步骤卡壳）

我现在需要证明一个结论：给定无向简单图 $G(V, E)$，其中顶点数 $|V|=n$，边数 $|E|=m$，如果 $m > \frac{n^2}{4}$，那么这个图里一定存在三角形（三个两两相邻的顶点）。

我选择用归纳法来证明，目前的思路是：

• 基础情况：先验证了 $n=0,1,2$ 的情况，这几种情况显然都满足结论（因为边数根本达不到$\frac{n^2}{4}$以上，而且也不可能有三角形）。
• 归纳假设：假设对于顶点数为 $n$ 的图，这个结论成立。
• 归纳步骤：现在要证明顶点数为 $n+1$ 的图也满足结论。

我取了一个顶点数为 $n+1$、边数 $m > \frac{(n+1)^2}{4}$ 的图，随机选了一个顶点并把它删掉。这个顶点最多能连 $n$ 条边（因为要和剩下的所有顶点相连）。

但到这里我就卡壳了，不知道接下来该怎么推导下去，想请教一下接下来的步骤应该怎么进行？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user25778822