W^{1,p}空间中商的弱导数存在性及公式证明

咱们来解决这个关于索伯列夫空间$W^{1,p}$中函数商的弱导数问题：

已知$w_1,w_2\in W^{1,p}(\Omega)$，其中$p\in(1,\infty)$，且在$\Omega$上几乎处处有$w_1,w_2>0$，同时$\frac{w_1}{w_2},\frac{w_2}{w_1}\in L^\infty(\Omega)$。我们需要证明$\frac{w_1}{w_2}$存在弱导数，并且满足：
$$\nabla\left (\dfrac{w_1}{w_2} \right )=\dfrac{w_2\nabla w_1 - w_1\nabla w_2}{w_2^2}.$$
（注：原问题给出的公式分子符号有误，这里纠正为正确的求导结果）

你提到的构造截断函数来逼近的思路非常靠谱，咱们顺着这个方向把证明补全：

一、构造截断函数并分析其性质 #

先把你给出的截断函数补完整：
定义截断函数
$$w_{1,\epsilon}(x)=\begin{cases} \epsilon, & w_1(x)\leq \epsilon\ w_1(x), & w_1(x)\in \left (\epsilon, \dfrac{1}{\epsilon} \right )\ \dfrac{1}{\epsilon}, & w_1(x)\geq \dfrac{1}{\epsilon}\end{cases},$$
以及
$$w_{2,\epsilon}(x)=\begin{cases} \epsilon, & w_2(x)\leq \epsilon\ w_2(x), & w_2(x)\in \left (\epsilon, \dfrac{1}{\epsilon} \right )\ \dfrac{1}{\epsilon}, & w_2(x)\geq \dfrac{1}{\epsilon}\end{cases}.$$

这些截断函数有几个关键性质：

• $w_{1,\epsilon},w_{2,\epsilon}$都是有界的Lipschitz函数，并且因为索伯列夫空间对有界截断操作封闭，所以它们仍然属于$W^{1,p}(\Omega)$；
• 当$w_i(x)\in(\epsilon,1/\epsilon)$时，$\nabla w_{i,\epsilon}(x)=\nabla w_i(x)$，在其他区域梯度为0；
• 由$\frac{w_1}{w_2},\frac{w_2}{w_1}\in L^{\infty(\Omega)$的条件，存在常数$C>0$，使得$C}{-1}w_2(x)\leq w_1(x)\leq Cw_2(x)$几乎处处成立。当$\epsilon$足够小时，$w_{1,\epsilon}/w_{2,\epsilon}$也满足类似的有界性，而且$w_{2,\epsilon}\geq\epsilon>0$，所以这个商函数是光滑（至少Lipschitz）的，经典导数存在，并且满足：
  $$\nabla\left(\frac{w_{1,\epsilon}}{w_{2,\epsilon}}\right)=\frac{w_{2,\epsilon}\nabla w_{1,\epsilon}-w_{1,\epsilon}\nabla w_{2,\epsilon}}{w_{2,\epsilon}^2}.$$

二、证明截断商函数向目标函数逼近 #

接下来我们要证明当$\epsilon\to0$时，$w_{1,\epsilon}/w_{2,\epsilon}$及其梯度分别收敛到$w_1/w_2$和目标梯度表达式：

1. **$L^{p$收敛性**：截断函数$w_{i,\epsilon}$会在$L}p(\Omega)$中收敛到$w_i$（这是索伯列夫空间截断函数的标准性质），结合$\frac{w_1}{w_2}$的有界性，不难推出$\frac{w_{1,\epsilon}}{w_{2,\epsilon}}\to\frac{w_1}{w_2}$在$L^p(\Omega)$中。
2. 梯度的$L^p$收敛性：看梯度表达式的分子部分$w_{2,\epsilon}\nabla w_{1,\epsilon}-w_{1,\epsilon}\nabla w_{2,\epsilon}$，当$\epsilon\to0$时，$w_i(x)\in(\epsilon,1/\epsilon)$的区域补集测度趋于0，在这个区域内分子等于$w_2\nabla w_1 -w_1\nabla w_2$；再结合$w_{i,\epsilon}$的有界性以及$\nabla w_i\in L^{p(\Omega)$，可以推出分子在$L}p(\Omega)$中收敛到$w_2\nabla w_1 -w_1\nabla w_2$。分母$w_{2,\epsilon}^{2$几乎处处收敛到$w_2}2$，且有正的下界，所以$\frac{1}{w_{2,\epsilon}^2}$在$L\infty(\Omega)$中收敛到$\frac{1}{w_2^{2}$。因此整个梯度表达式在$L}p(\Omega)$中收敛到$\frac{w_2\nabla w_1 -w_1\nabla w_2}{w_2^2}$。

三、验证弱导数的定义 #

弱导数的核心是满足分部积分公式，我们需要对任意测试函数$\phi\in C_c^\infty(\Omega)$，验证：
$$-\int_\Omega \frac{w_1}{w_2}\nabla\phi dx = \int_\Omega \frac{w_2\nabla w_1 -w_1\nabla w_2}{w_2^2}\phi dx.$$

对于截断后的商函数，因为它有经典导数，所以分部积分公式成立：
$$-\int_\Omega \frac{w_{1,\epsilon}}{w_{2,\epsilon}}\nabla\phi dx = \int_\Omega \nabla\left(\frac{w_{1,\epsilon}}{w_{2,\epsilon}}\right)\phi dx.$$

当$\epsilon\to0$时，左边的积分收敛到$-\int_\Omega \frac{w_1}{w_2}\nabla\phi dx$，右边的积分收敛到$\int_\Omega \frac{w_2\nabla w_1 -w_1\nabla w_2}{w_2^2}\phi dx$，因此分部积分公式对$\frac{w_1}{w_2}$成立，这就证明了它的弱导数存在，并且等于上述表达式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bogdan