扭环面及特定粘合圆柱商空间的基本群计算验证咨询

我最近在做一份旧期末试卷里的拓扑题，题目描述如下：

设$X$是将圆柱的两个边界圆周粘合得到的商空间，粘合方式是把其中一个圆周绕另一个圆周缠绕两次（可以把每个边界圆周看作复平面上的单位圆，粘合映射为$z \mapsto z^2$）。计算$X$的基本群$\pi_1(X)$。

我原本觉得这应该是Van-Kampen定理的直接应用，但一直卡壳在不知道该选择什么样的开覆盖来拆分空间。后来我试着画了一张粘合示意图（示意图已附上），根据示意图的结构，我推测这个空间的基本群是$\langle a,b,c \mid ab^{-1}c{-1}ac^{-1} \rangle$——因为从示意图来看，这个空间相当于把一个2-胞腔沿着列出的那个唯一关系粘合得到的。

不过我对这个结论不太有信心，因为在处理其中一个边界圆周的粘合细节时，总觉得自己的推导可能有疏漏，想请教一下这个解法是否正确，或者有没有更严谨的、基于Van-Kampen定理的推导方式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mutasim Mim