关于π₁(S¹∨S¹)的换位子群与环面覆叠诱导的8字形空间覆叠问题

嗨，咱们来拆解这个拓扑学里的覆叠空间相关问题，具体背景和问题如下：

设覆叠空间 $p : \mathbb{R}^2 \to T$ 是环面 $T$ 的覆叠映射，其中映射 $p$ 的定义为 $p(x, y) = (e^{2\pi ix}, e^{2\pi iy})$。记 $\mathbb{R}^2$ 中的网格 $G$ 为所有满足横坐标或纵坐标为整数的点构成的集合，令 $X = p(G) \subset T$，易知 $X$ 就是8字形空间（即两个圆周的一点并 $S^1 \lor S^1$），且它的基本群是由两个生成元生成的自由群。

接下来是两个具体问题：

1. 证明限制映射 $p|_G : G \to X$ 是一个覆叠空间；
2. 选取基点 $(0, 0) \in G$ 和 $(1, 1) \in X$，求诱导同态 $(p|G)* : \pi_1(G, (0,0)) \to \pi_1(X, (1,1))$ 的像？（注：原问题此处内容未完整显示，保留现有表述）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mutasim Mim