满足前排人员均矮于正后方人员的吉普座位排列数求解

一辆吉普有6个座位，前排3个、后排3个。现在要安排6个身高各不相同的人就坐，要求每个前排座位上的人都比他正后方座位上的人矮，问一共有多少种坐法？

我的尝试与正确思路梳理 #

我先聊聊最开始的思考方向，再修正到正确解法：

初始尝试（存在小误区）

一开始我想分步来处理：

• 第一步：从6个人里选2个，这两人身高肯定有差异，自然能分出高矮。然后从3组前后对应的座位里选1组，把矮的放前排、高的放后排，当时写的计算式是 $\binom{6}{2} × \binom{3}{1}$
• 第二步：从剩下的4个人里再选2个，同样分出高矮，从剩下的2组前后座位里选1组安排，计算式是 $\binom{4}{2} × \binom{2}{1}$
• 第三步：最后剩下的2个人直接安排到最后一组前后座位，矮的在前、高的在后，计算式为 $\binom{2}{2} × \binom{1}{1}$

但这里其实多乘了座位组的选择数——因为座位组是固定的（比如前排左对应后排左是固定的一组），不需要额外选座位组，直接给每个固定座位组分配人员就行。

正确解法一：分步配对法

我们可以按固定的座位组来分配人员：

• 先给第一组前后座位选2个人，有 $\binom{6}{2}$ 种选法，这两人只有1种符合要求的坐法（矮的在前，高的在后）
• 再给第二组前后座位从剩下4人里选2个，有 $\binom{4}{2}$ 种选法，同样只有1种坐法
• 最后一组直接安排剩下的2人，1种选法+1种坐法

把这些乘起来：$\binom{6}{2} × \binom{4}{2} × \binom{2}{2} = 15 × 6 × 1 = 90$

正确解法二：全排列简化法

换个角度想：如果不考虑任何限制，6个人全排列有 $6! = 720$ 种坐法。
对于每一组前后对应的座位，两人的排列有2种（矮前高后、高前矮后），其中只有1种符合要求。一共有3组这样的座位，所以符合要求的排列数是总排列数除以 $2^3$，也就是：
$\frac{6!}{2^3} = \frac{720}{8} = 90$

两种方法得到的结果一致，都是90种。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ramsunit Raja