二次分式有理函数值域为全体实数的系数条件问询

我最近在研究二次分式有理函数的值域问题，想搞清楚当它的值域是全体实数$\mathbb{R}$时，分子分母的系数得满足什么条件，具体问题和我的推导过程如下：

考虑这个二次分式函数：
$$y=\frac{a_1x^{2+b_1x+c_1}{a_2x}2+b_2x+c_2} \tag{1}$$
（显然函数的定义域不包含分母多项式的根）

我先把原式交叉相乘整理成关于$x$的方程：
$$x^2(a_2y-a_1)+x(b_2y-b_1)+c_2y-c_1=0$$

因为要让值域覆盖全体实数，意味着对每一个实数$y$，都存在对应的$x$满足方程(1)，所以我们可以要求这个关于$x$的方程的判别式非负。

这里有个重要前提：$y≠\frac{a_1}{a_2}$

接下来，令这个关于$x$的方程的判别式$D_1≥0$，展开计算后得到：
$$y^2(b_22-4a_2c_2)+y(4a_1c_2+4a_2c_1-2b_1b_2)+b_1^2-4a_1c_1≥0$$

从这个关于$y$的二次不等式，我们可以推导出两个关键条件：

• $\implies D_2≤0$（其中$D_2$是上述关于$y$的二次式的判别式）
• $\implies b_2^2-4a_2c_2>0$

我还把判别式的条件进一步化简，得到了这样的关系式：
$$(a_1c_2-a_2c_1)^2≤(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aryan Kr.