关于群中仅含两个n阶元素（n∉{1,2}）时n∈{3,4,6}的证明后续思路咨询

你已经完成了最关键的两步——证明$\langle a\rangle = \langle b\rangle$且这个子群在$G$中正规，这为后续推导打下了完美的基础，而且完全不需要在意$G$是否有限，我们可以从循环子群的结构直接突破：

首先，回忆n阶循环群$\langle a\rangle$的性质：它的所有n阶元素恰好是它的生成元，也就是形如$a^k$（其中$\gcd(k,n)=1$）的元素，这类元素的总数由欧拉函数$\varphi(n)$给出。

而题目明确说明$G$中恰好只有两个n阶元素$a$和$b$，同时你已经证明$b \in \langle a\rangle$，这意味着$\langle a\rangle$里的所有n阶元素只能是$a$和$b$，也就是说$\varphi(n)=2$。

接下来只需要解$\varphi(n)=2$这个方程（且$n \notin {1,2}$）：

• 若$n$是素数$p$：$\varphi(p)=p-1=2$，解得$p=3$；
• 若$n$是素数幂$p^{m$：$\varphi(p}m)=p^m - p^{m-1}=2$，试算可得唯一解$p=2, m=2$，即$n=4$；
• 若$n$是两个不同素数的乘积$pq$：$\varphi(pq)=(p-1)(q-1)=2$，试算可得唯一解$p=2, q=3$，即$n=6$；
• 其他形式的正整数（比如更大的素数幂、三个及以上素数的乘积）都会导致$\varphi(n) > 2$，不符合要求。

综上，$n$只能是${3,4,6}$中的元素，完美契合题目要证的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tala Cruz