含三次多项式分母的有理函数积分疑问：√x²的取值选择及积分合并问题

最近我碰到这么一个积分问题，想跟大家请教下：
$$\int \frac{x^{3}+x{2}+2\sqrt{x^{2}}+1}{x{3}+x^{2}+2x+1}dx$$

其实我之前也接触过这类积分，但这次还是有没搞明白的关键点。

当取$\sqrt{x^2}=x$时，这个积分的结果很直接，就是$$x+C$$。

可如果取$\sqrt{x^2}=-x$的话，积分就变成了：
$$\int\frac{x^{3}+x{2}-2x+1}{x^{3}+x{2}+2x+1}dx$$
化简后得到：
$$=x-\int\frac{4x}{x^{3}+x{2}+2x+1}dx +C $$

到这一步我就卡壳了，不知道怎么继续计算这个积分。

最让我困惑的是：加尔各答大学的教授们都建议直接取$\sqrt{x^2}=x$，我实在想不通为啥要这么选择？

另外，我也没办法把这两种情况整合到一个统一的积分结果里，现在完全摸不着头绪。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1203201