求解函数f(x)关于变量x的梯度的技术咨询

各位大佬好，我现在卡在一个梯度推导的问题上了，想请大家帮忙指点一下。我需要求解下面这个函数 $f(x)$ 关于变量 $x$ 的梯度：

$f(x) = \ln \det(R(x)) + q(x)^H R(x)^{-1} q(x)$

先给大家明确下各个符号的定义：

• $R(x)=a X^H X + bI$
• $q(x)=a X^H y$
• $X = x^T \otimes I$，其中 $\otimes$ 表示克罗内克积
• $I$ 代表单位矩阵
• $(\cdot)^H$ 指的是复共轭转置，也就是厄米特算子

我自己试着做了些简化和初步推导，但到一半就卡壳了，不知道怎么继续。为了降低难度，我先假设是实值场景来简化问题，把厄米特转置换成普通转置，重新写了函数：
$\overline{f}(x) = \ln \det(a X(x)^T X(x) + bI) + q(x)^T (a X(x)^T X(x) + bI)^{-1} q(x)$
这里的 $q(x)=a X(x)^T y$，$X(x)=x^T \otimes I$。

到这一步之后，我就彻底不知道该怎么往下推导关于 $x$ 的梯度了，有没有大佬能帮我梳理下后续的推导思路，或者给我一些关键的推导步骤呀？麻烦大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者learning