关于复随机变量实部与虚部独立性及极坐标变换相关问题的技术问询

我有两个关于复随机变量的问题想请教：

1. 首先，给定复随机变量 $z = x + jy$（其中 $x$ 是实部，$y$ 是虚部），我知道正交性并不等价于独立性，但我不确定：复随机变量的实部和虚部本身是否天然具备独立性？ 换句话说，是否一定满足联合概率密度函数 $f(x,y) = f(x)f(y)$，这里 $f(x)$、$f(y)$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的边缘概率密度函数。

2. 另外，我是通过极坐标到笛卡尔坐标的变换得到这个复随机变量的：原极坐标形式为 $z = A\exp(j\theta)$，其中 $A = \sqrt{x^2 + y^2}$，$\theta = \tan^{-1}\frac{y}{x}$，而且已知 $A$ 和 $\theta$ 是相互独立的。我想问的是：这种情况下，实部 $x$ 和虚部 $y$ 是否会是独立的？或者说，$A$ 与 $\theta$ 的独立性能否推导出 $x$ 与 $y$ 的独立性？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Userhanu