特征线法求解偏微分方程$xu_x-yu_y=0$的解答正确性验证及相关疑问

看起来你用特征线法求解这个偏微分方程的思路是完全正确的，我来帮你梳理验证过程，同时解答你提出的疑问：

• 特征方程与特征曲线的正确性
  你通过构造$\varphi(x)=u(x,y(x))$并对$x$求导，推导出特征线的微分方程$y'(x)=-\frac{y}{x}$，这个推导逻辑没问题。结合初始条件$y(a)=a$求解后得到$y(x)=\frac{a^2}{x}$，这确实是过点$(a,a)$的那条特征曲线。

  从特征线的标准方程组视角来看，原方程$xu_x - yu_y=0$对应的特征方程组是$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{-y}$，分离变量积分后可以得到$xy=C$（$C$为任意常数），这是完整的特征曲线族，是一系列双曲线。你得到的$y(x)=\frac{a^{2}{x}$其实就是$C=a}2$时的特殊情况，属于这个曲线族的一员。

• 关于特征曲线是否覆盖全平面的疑问
  你提到“这些特征曲线只覆盖第一、三象限”，这是因为你选取的初始条件是$y(a)=a$，对应的$C=a^2>0$，所以这类特征曲线是$xy>0$的双曲线，自然只分布在第一、三象限。

  如果考虑所有可能的常数$C$：

  • 当$C>0$时，$xy=C$是第一、三象限的双曲线；
  • 当$C<0$时，$xy=C$是第二、四象限的双曲线；
  • 当$C=0$时，对应$x=0$或$y=0$（原点除外），此时原方程在$x=0,y≠0$时变为$-yu_y=0$，即$u$在$y$轴（非原点区域）上关于$y$是常数；在$y=0,x≠0$时变为$xu_x=0$，即$u$在$x$轴（非原点区域）上关于$x$是常数。

  原点$(0,0)$是原方程的奇点，因为此时方程的系数都为0，没有明确定义，所以无需纳入考虑范围。

• 通解的推导补充
  由于沿每条特征曲线$xy=C$，$u$的取值保持不变（因为$\frac{d\varphi}{dx}=0$），结合初始条件$u(x,x)=f(x^{2)$，当$y=x$时，$xy=x}2$，即$C=x^2$，因此可以直接得到原方程满足初始条件的通解为$u(x,y)=f(xy)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者scottish