Rouché定理的具体应用：证明某方程在指定圆盘内解的存在唯一性
嘿，这个问题用Rouché定理确实是精准的思路，咱们一步步拆解来做：
首先先明确目标：给定$r\in(0,1)$，要找到足够大的自然数$N$，使得方程$\sum_{n=0}N\frac{zn}{n!}=e$在圆盘$D(1,r)$（也就是以1为圆心、r为半径的开圆盘）内有且只有一个解。
第一步：把方程转化为适合Rouché定理的形式
Rouché定理的核心是：如果在闭圆盘$\overline{D(1,r)}$的边界$\partial D(1,r)$上，两个解析函数$f(z)$和$g(z)$满足$|f(z)| > |g(z)|$，那么$f(z)$和$f(z)+g(z)$在开圆盘$D(1,r)$内的零点个数完全相同（计重数）。
我们把原方程改写为：
$$\sum_{n=0}N\frac{zn}{n!} - e = 0$$
注意到$e^z = \sum_{n=0}\infty\frac{zn}{n!}$，所以上面的式子可以拆成：
$$(e^z - e) - \left(e^z - \sum_{n=0}N\frac{zn}{n!}\right) = 0$$
这里我们令：
- $f(z) = e^z - e$（这是我们的“主函数”）
- $g(z) = -\left(e^z - \sum_{n=0}N\frac{zn}{n!}\right)$（这是$e^z$泰勒展开的余项的相反数，也就是“扰动项”）
原方程就等价于$f(z) + g(z) = 0$，接下来我们分别分析这两个函数。
第二步：分析主函数$f(z)=e^z - e$的零点
先看$f(z)$在$D(1,r)$内的零点：$e^z = e$的解是$z=1 + 2k\pi i$（$k\in\mathbb{Z}$）。因为$r<1$，除了$z=1$之外，其他解的实部都是1，但虚部绝对值是$2\pi|k|\geq2\pi>1>r$，所以都不在$D(1,r)$内。另外，$f'(z)=e^z$，$f'(1)=e\neq0$，说明$z=1$是单零点，也就是$f(z)$在$D(1,r)$内恰好有1个零点。
第三步：估计边界上的$|f(z)|$下界
我们只需要在边界$\partial D(1,r)$（即$|z-1|=r$）上满足$|f(z)| > |g(z)|$就行。先算$|f(z)|$的下界：
$$|f(z)| = |e^z - e| = e\cdot|e^{z-1} - 1|$$
令$w=z-1$，则$|w|=r<1$，所以$|e^w - 1|$的下界可以用三角不等式推导：当$|w|=r$时，$\text{Re}(w)\geq -r$，所以$e^{\text{Re}(w)}\geq e^{-r}$，因此：
$$|e^w - 1| \geq | |e^w| - 1 | = |e^{\text{Re}(w)} - 1| \geq 1 - e^{-r}$$
这个值是个固定的正数，记为$M = e(1 - e^{-r})$，所以在边界$\partial D(1,r)$上，$|f(z)| \geq M > 0$。
第四步：估计扰动项$|g(z)|$的上界
$|g(z)|$其实就是$e^z$泰勒展开的余项的绝对值：
$$|g(z)| = \left|e^z - \sum_{n=0}N\frac{zn}{n!}\right| = \left|\sum_{n=N+1}\infty\frac{zn}{n!}\right|$$
在边界$\partial D(1,r)$上，$|z|\leq |1| + |z-1| = 1 + r$，所以用三角不等式放缩：
$$|g(z)| \leq \sum_{n=N+1}\infty\frac{|z|n}{n!} \leq \sum_{n=N+1}\infty\frac{(1+r)n}{n!} = e^{1+r} - \sum_{n=0}N\frac{(1+r)n}{n!}$$
因为泰勒级数$\sum_{n=0}\infty\frac{(1+r)n}{n!}$收敛到$e^{1+r}$，所以当$N$足够大时，这个余项会趋近于0。也就是说，必然存在某个自然数$N$，使得：
$$e^{1+r} - \sum_{n=0}N\frac{(1+r)n}{n!} < M$$
此时在边界$\partial D(1,r)$上，就满足$|g(z)| < |f(z)|$。
第五步：应用Rouché定理得出结论
根据Rouché定理，$f(z)$和$f(z)+g(z)$在$D(1,r)$内的零点个数相同。$f(z)$有且只有1个单零点，所以$f(z)+g(z)=\sum_{n=0}N\frac{zn}{n!}-e$在$D(1,r)$内也恰好有1个零点，也就是原方程有唯一解。
关于其他思路的补充
有没有其他函数可以用Rouché定理？比如直接令$f(z)=\sum_{n=0}N\frac{zn}{n!}$，$g(z)=-e$？这个思路不太可行，因为在$z=1$附近，$\sum_{n=0}^N\frac{1}{n!} < e$，所以$|f(z)|$会小于$|e|$，不满足Rouché定理的边界不等式条件，还是用泰勒余项的思路最直接。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者aritracb
