非简并定态微扰论中幂级数展开及λ同次幂系数等同的合理性问询

嘿，这个问题问到了微扰论的核心逻辑上——毕竟一开始引入λ、做幂级数展开的操作，看起来有点像“先搭架子再填内容”，咱们把这个合理性拆解清楚：

首先回顾下非简并定态微扰论的基本设定：

• 受微扰后的能量本征值，我们写成λ的幂级数形式：
  $$E=E^{(0)}+\lambda E^{{(1)}+\lambda}2E^{(2)}+...\tag1$$
• 对应的本征态也做同样的展开：
  $$\vert n\rangle=\vert n^{(0)}\rangle+\lambda\vert n^{{(1)}\rangle+\lambda}2\vert n^{(2)}\rangle+...\tag2$$
  这里的上标代表微扰的阶数，λ是一个辅助参数，我们最后会把它设为1，相当于直接把微扰项$H'$纳入哈密顿量。

这些展开式必须满足微扰后的薛定谔方程：
$$(H_0+\lambda H')\ \vert n\rangle=E\ \vert n\rangle\tag3$$
其中$H_0$是未受微扰的哈密顿量，$H'$是微扰项。

为什么可以等同λ同次幂的系数？ #

关键在于λ的物理意义——我们可以把它看作一个从0（完全无扰动）连续过渡到1（实际扰动强度）的“调节参数”。这时候方程(3)不是只在λ=1时成立，而是在λ=0附近的一个小范围内的所有取值都要成立。

而幂级数有一个核心性质：在收敛域内，一个函数的幂级数展开是唯一的。换句话说，如果两个关于λ的幂级数在某个邻域内处处相等，那么它们对应每一个λ幂次的系数必须严格相等。举个简单的例子：如果$a_0 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 = b_0 + b_1\lambda + b_2\lambda^2$对所有小的λ都成立，那必然有$a_0=b_0$、$a_1=b_1$、$a_2=b_2$，以此类推。

回到微扰论的场景：当我们把(1)(2)代入(3)后，两边都会变成关于λ的幂级数。因为这个等式对λ=0附近的所有值都成立，所以我们必须让两边每一个λ幂次的系数分别相等——这一步操作的本质，是利用幂级数的唯一性来“拆分”方程，得到各阶微扰的递推关系，最终解出各阶修正项。

最后当我们把λ=1代入时，得到的解自然就满足实际的微扰薛定谔方程了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GedankenExperimentalist