关于Herstein元素共轭元证明中右陪集推导的疑问

嗨，我来帮你拆解这两个疑问：

第一个问题：为什么$y = nx$？ #

这完全是群的右陪集的基本定义，不是Herstein这个证明里的特殊设定，也和正规化子$N(a)$的特殊性无关。

回忆一下：对于群$G$的任意子群$H$，$H$的一个右陪集是形如$Hx = { hx \mid h \in H }$的集合（$x$是$G$里的某个固定元素）。如果两个元素$x、y \in G$属于同一个右陪集$N(a)x$，那根据这个集合的定义，必然存在某个$n \in N(a)$，使得$y = nx$——这就是这个等式的由来，本质就是“$y$在以$x$为代表元的$N(a)$右陪集里”的另一种写法。

第二个问题：同一右陪集的元素是否总能通过子群元素复合得到？ #

这是所有群陪集的通用性质，不止适用于正规化子：

• 对任意群$G$和它的任意子群$H$，两个元素$x、y \in G$在同一个右陪集里，当且仅当存在$h \in H$，使得$y = hx$；
• 反过来，如果$y = hx$（$h \in H$），那$y$一定属于右陪集$Hx$，和$x$在同一个陪集里。

在这个定理的证明里，子群$H$就是$N(a)$，所以直接套用这个通用性质就得到了$y = nx$（$n \in N(a)$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Flying Spaghetti