含横截条件的变分问题求解求助

大家好，我最近在求解一个带横截条件的变分问题时遇到了瓶颈，想请各位帮忙梳理一下思路，具体问题如下：

我需要找泛函
$$J(y)=\int_0^ag(x, y, y')dx=\int_0^a(y2+y'^2)dx$$
的极值函数，已知边界条件为$y(0)=0$，且端点$y(a)$（这里的上限$a$是未知量）落在直线$y=1-x$上。

我已经完成了这些步骤：

• 通过欧拉-拉格朗日方程得到通解形式：$$y=c_1\sinh(x+c_2)$$
• 利用第一个边界条件$y(0)=0$，化简得到：$$y=c_1\sinh(x)$$

接下来我尝试用横截条件求解剩余的常数$c_1$和未知上限$a$，把直线$y=1-x$用参数$t$参数化后，写出了横截条件的表达式：
$$\frac{dy}{dt}\frac{\partial g}{\partial y'}-\frac{dx}{dt}\left(y'\frac{\partial g}{\partial y'}-g\right)=0$$
不过写到这里我就卡住了，不知道该怎么继续推导下去，想请教各位接下来应该怎么处理？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lysi-2