关于证明集合等式$(A-B)\cap C=(A\cap C)-(B\cap C)$的疑问咨询

嗨Paolo！我来帮你理清这个集合证明里的小困惑~

你一开始的推导步骤是完全正确的：假设$x\in (A-B)\cap C$，确实能得出$x\in A$、$x\notin B$且$x\in C$。你提到自己会“错误地”推导出$x\in (A\cap C)-B$——其实这个结论本身没毛病，它只是个中间步骤，我们需要把它和目标等式的右边$(A\cap C)-(B\cap C)$衔接起来就行。

我们可以把推导补全：

• 从$x\in A$且$x\in C$，能直接得到$x\in A\cap C$；
• 因为$x\notin B$，那不管$x$是否在$C$中，它都不可能同时属于$B$和$C$，也就是$x\notin B\cap C$；
• 结合上面两点，$x$属于$A\cap C$且不属于$B\cap C$，正好符合$(A\cap C)-(B\cap C)$的定义，所以$x\in (A\cap C)-(B\cap C)$。这就完成了左半边集合到右半边的包含关系证明。

当然，集合等式的证明还需要反过来推导右到左的包含：

• 假设$x\in (A\cap C)-(B\cap C)$，那么$x\in A\cap C$（即$x\in A$且$x\in C$），同时$x\notin B\cap C$；
• 因为$x\in C$但$x\notin B\cap C$，这就说明$x$肯定不属于$B$（如果$x\in B$的话，结合$x\in C$就会有$x\in B\cap C$，和已知矛盾）；
• 所以$x\in A$且$x\notin B$，即$x\in A-B$，再加上$x\in C$，就得到$x\in (A-B)\cap C$。

这样两边的包含关系都证明了，等式也就成立啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paolo Secchi