勒贝格控制收敛定理的逆命题是否成立？

问题描述 #

假设$f_n:\Omega\to\mathbb{R}$是一列函数，其中$\Omega\subset\mathbb{R}^N$是有界可测集，且对$\Omega$中几乎所有的$x$，有：
$$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)\in\mathbb{R}$$
已知$f\in L^1(\Omega)$，我们能否得出：
$$\lim\limits_{n\to\infty} \int_{\Omega} f_n(x)\ dx=\int_{\Omega} f(x)\ dx$$
？

我不清楚该如何应用已知结论，也许这个结论不成立，但我找不到反例。

解答 #

这个结论不成立，我们可以构造一个简单的反例来说明：

取$\Omega=[0,1]$（这是$\mathbb{R}^1$中的有界可测集），定义函数列$f_n(x)$如下：
$$f_n(x) = n \cdot \chi_{[0, 1/n]}(x)$$
这里$\chi_A(x)$是集合$A$的特征函数，即当$x\in A$时$\chi_A(x)=1$，否则为0。

我们来验证几个关键点：

1. 几乎处处收敛到$f(x)=0$：对于任意$x\in(0,1]$，当$n>1/x$时，$x\notin[0,1/n]$，所以$f_n(x)=0$，因此$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$；而$x=0$这一个点的测度为0，所以是几乎处处收敛到0，显然$0\in L^1([0,1])$。
2. 积分不收敛到$f$的积分：计算$f_n$的积分：
   $$\int_{[0,1]}f_n(x)dx = \int_{0}^{1/n}n\ dx = n\cdot\frac{1}{n}=1$$
   而$\int_{[0,1]}f(x)dx=\int_{[0,1]}0dx=0$，显然$\lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]}f_n(x)dx=1\neq0=\int_{[0,1]}f(x)dx$。

这个例子就说明，即使函数列几乎处处收敛到$L^1$中的函数，积分的极限也不一定等于极限函数的积分。这也体现了勒贝格控制收敛定理中“存在可积的控制函数”这个条件是必不可少的——在这个反例里，不存在一个可积函数$g$使得$|f_n(x)|\leq g(x)$对所有$n$和几乎所有$x$成立，因为$g$需要在每个$[0,1/n]$上至少取到$n$，这样$g$的积分会是无穷大，不属于$L^1([0,1])$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bogdan