关于各类几何作图生成数的类型及对应理论完备性的技术问询

Hey 你好！咱们从你提到的尺规作图基础（只能解二次方程，对应理论完备）出发，逐个拆解你的问题：

1. 圆锥曲线作图 #

你的猜测方向完全没错，但可以再细化下细节：

• 可生成数的类型：圆锥曲线由二次方程定义，它们之间（或与直线）的交点对应着解到四次的方程。这意味着能构造的数是所有在有理数域$\mathbb{Q}$上扩张次数为$2^k \times 3$（$k$为非负整数）的代数数——比如倍立方问题里的$\sqrt[3]{2}$，这类三次不可约数是尺规没法构造的，但圆锥曲线可以搞定。不过它还是碰不了五次及以上的不可约多项式的根。
• 理论完备性：和尺规作图类似，这个系统的理论在自身的可构造数范围内是完备的——也就是说，任何关于圆锥曲线可构造图形/数的命题，都能通过系统的公理证明或证伪，但它的完备性不覆盖整个代数闭域。

2. 滑动直尺作图（Neusis） #

Neusis作图（简单说就是用带标记的直尺，滑动旋转到同时满足两个位置条件的作图，比如经典的角三等分）确实是完全不同的体系：

• 可生成数的类型：它能直接解三次方程，所以可构造数的范围比圆锥曲线还广——包含所有在有理数域$\mathbb{Q}$上扩张次数为$2^k \times 3^{m$（$k,m$为非负整数）的代数数。像$\cos20}\circ$（三等分60°角得到的数，是三次不可约多项式的根）这类数，用neusis就能轻松构造。
• 理论完备性：这个体系的理论同样在自身的可构造数域内是完备的。所有关于neusis可构造性的命题，都能通过体系内的规则得到明确的是或否的结论，而且因为它能处理三次扩张，能解决很多尺规和圆锥曲线搞不定的问题。

3. 能生成代数闭域的现代几何作图 #

要得到代数闭域（也就是所有代数数，不管它在有理数域$\mathbb{Q}$上的扩张次数是多少），传统的有限步古典构造肯定做不到，现代的思路主要有这些：

• 无限次作图体系：如果允许无限次重复尺规/圆锥曲线/neusis作图，我们可以逼近并构造出所有实代数数；扩展到复平面的话，就能覆盖所有复代数数。
• 折纸作图：虽然不算纯“现代”数字工具，但折纸作图的能力比neusis还强——它能解五次方程，进一步扩大可构造数的范围，但依然没法覆盖所有代数数。
• 模型论抽象构造：在现代数理逻辑（模型论）里，我们可以定义直接对应代数闭域的几何构造体系。这类体系的理论是完备的（得益于塔尔斯基定理，代数闭域的理论是完备的），也就是说，关于这个域的任何命题都能被证明或证伪。
• 计算机辅助构造：数字几何工具可以模拟能解任意次数代数方程的构造，实际上能生成任何代数数。不过这更偏向计算实现，而非传统意义上的“几何构造”体系。

要注意的是，任何有限步的古典构造体系都没法生成整个代数闭域——因为有限步只能构造$\mathbb{Q}$上有限次扩张的数，而代数闭域需要覆盖所有次数的扩张。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lina Jane