来自MPFG的地板方程拓展问题求解问询

最近有个朋友问了我这么一道数学题：

求满足方程 $x^2+\lfloor 2x \rfloor = \lfloor x^2 \rfloor + 2x$，且取值范围为 $1\leq x\leq 20$ 的实数解 $x$ 的个数。

我当时是这么思考解题的：首先注意到，所有能让 $(x-1)^2$ 取到整数值的 $x$，都满足这个方程。具体推导一下：
$$(x-1)^2 = \lfloor x^2 \rfloor - \lfloor 2x \rfloor + 1$$
显然这个结果属于正整数集合 $\mathbb{Z}^+$。结合 $1\leq x\leq 20$ 的范围，我们能先得出解的个数最多不会超过362个。

实际上，我们还能进一步证明，解的个数恰好就是362个。假设 $(x-1)^2=k$，其中 $k$ 是正整数，那么 $x=1+\sqrt{k}$ 或者 $x=1-\sqrt{k}$，但考虑到 $x\geq1$ 的限制，我们只需要考虑 $x=1+\sqrt{k}$ 的情况……（原推导内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hyakutake