关于ℤ²格点中含原点且包含于Bᵣ的不同格点树计数的技术问询

我正在尝试寻找以下问题的完整或部分解答：

给定配备范数 $||x|| = \max(x_1,x_2)$（其中点 $x = (x_1,x_2)$）的平方格点 $\mathbb{Z}^2$，求包含原点作为顶点且被包含在正方形 $B_r = {x \in \mathbb{Z}^2 : ||x|| ≤ r }$ 中的不同格点树的数量？

我对树的顶点数、边数没有任何要求，也不要求它们能同时组合在一起。目前我已经在自己关注的特定情况下找到了一些边界，但想知道是否存在针对一般树的相关结论，或者有什么思路可以用来推导这些结论？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者summersfreezing