求满足函数方程f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))²的所有连续函数

问题描述 #

确定所有连续函数$f$，使得对于所有实数$x$和$y$，都满足：
$$f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2$$

我的尝试 #

目前我已经推导出这些结论：

• 平凡解是$f(x)=-1$、$f(x)=0$、$f(x)=1$
• $f(x)$是偶函数，这是代入$x=0$得到的结果
• 对于非平凡解，$f(0)=1$，这是代入$y=0$推导出来的
• $f(x)>0$，代入$x=y$后可得$f(2x)=f(x)^4$，结合非平凡解的$f(0)=1$就能得出这个结论

不过到这里我就卡住了，不知道接下来该怎么继续推导所有的连续解...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1148590