盒子与球随机分配场景下的颜色匹配概率求解问询

问题描述 #

我最近遇到这么一个概率问题，想和大家探讨下：
一个工厂生产红、黑两种盒子，其中90%是红色盒子。容器里有10个球，7个红色、3个黑色。我们先独立从生产线抽取8个盒子，之后在黑暗中从容器里取一个球放进其中一个盒子，放好后把这个盒子搁到一边，再从容器里取一个球放进剩下7个盒子中的一个，重复这个过程直到8个盒子都放了球。想问的是，每个盒子里的球颜色都和盒子本身颜色一致的概率是多少？

我的解题尝试 #

我梳理了一下思路，步骤大概是这样的：
首先，设$X$为抽取的8个盒子中黑盒子的数量，显然$X$服从参数$n=8$、$p=0.1$的二项分布，它的概率公式为：
$$ P(X = k) = \binom{8}{k} (0.1)^k (0.9)^{8-k} $$

接下来要考虑：当有$k$个黑盒子时，我们需要恰好从容器里取出$k$个黑球（每个黑球对应放进黑盒子），同时取出$8-k$个红球（每个红球对应放进红盒子）。这里的概率我用排列数计算：从3个黑球里选$k$个的排列数，乘以从7个红球里选$8-k$个的排列数，再除以从10个球里选8个的排列数（因为是不放回依次取球，用排列更准确）。这里用$P(a,b)$表示从$a$个元素中选$b$个的排列数，即$P(a,b)=\frac{a!}{(a-b)!}$，所以这部分概率为$\frac{P(3,k) \times P(7,8-k)}{P(10,8)}$。

根据全概率公式，总概率是对所有可能的$k$求和，但$k$的取值有范围限制：

• 若$k=0$，意味着8个都是红盒子，需要放8个红球，但容器里只有7个红球，不可能，这部分概率为0；
• 若$k≥4$，意味着至少有4个黑盒子，但容器里只有3个黑球，也不可能；
  所以$k$只能取1、2、3这三个值。

接下来我计算了每一项的具体数值：
首先算分母$P(10,8)=\frac{10!}{2!}=10×9×8×7×6×5×4×3=1814400$

当$k=1$时： #

• $P(X=1)=\binom{8}{1}(0.1)^1(0.9)7=8×0.1×0.4782969=0.38263752$
• $P(3,1)=3$，$P(7,7)=7!=5040$，分子部分为$3×5040=15120$，对应概率为$\frac{15120}{1814400}=\frac{1}{120}≈0.0083333$
• 这一项的贡献为$0.38263752×0.0083333≈0.0031886$

当$k=2$时： #

• $P(X=2)=\binom{8}{2}(0.1)^2(0.9)6=28×0.01×0.531441=0.14880348$
• $P(3,2)=3×2=6$，$P(7,6)=\frac{7!}{(7-6)!}=5040$，分子部分为$6×5040=30240$，对应概率为$\frac{30240}{1814400}=\frac{1}{60}≈0.0166667$
• 这一项的贡献为$0.14880348×0.0166667≈0.0024801$

当$k=3$时： #

• $P(X=3)=\binom{8}{3}(0.1)^3(0.9)5=56×0.001×0.59049=0.03306744$
• $P(3,3)=3×2×1=6$，$P(7,5)=\frac{7!}{(7-5)!}=7×6×5×4×3=2520$，分子部分为$6×2520=15120$，对应概率为$\frac{15120}{1814400}=\frac{1}{120}≈0.0083333$
• 这一项的贡献为$0.03306744×0.0083333≈0.0002756$

最后把这三项加起来，总概率大约是$0.0031886+0.0024801+0.0002756≈0.0059443$，也就是大概0.594%的样子。

后来我也验证了一下，不管盒子的顺序如何，依次取球放盒子的概率和用排列计算的结果是一致的——比如第一个黑盒子取黑球的概率是3/10，第二个黑盒子取黑球的概率是2/9，红盒子同理，这样算下来的总概率和之前的结果完全吻合，应该是没问题的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者No Name